ПРИНЦИП МАХА
ГРАВИТАЦИЯ, ИНЕРЦИЯ И ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
МИНКОВСКОГО
Г.М.Тележко
ВИЧП "Информаналитика", С.-Петербург, Россия
Научно-образовательное объединение "Земля и Вселенная", С.-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 11 ноября 1997 г.
Лоренцевы преобразования волновых функций частиц в координатном представлении рассматриваются как частный случай калибровочных преобразований гравитационного поля. Калибровочные преобразования в общем виде включают в себя, в дополнение к преобразованиям поворота, масштабное преобразование волновых функций. Показано, что такое описание гравитационного поля не противоречит классическим явлениям, включает в себя принцип Маха и приводит к слабому принципу эквивалентности как следствию теории.
С о д е р ж а н и е
1. Введение
2. Специальная теория относительности как калибровочная теория
3. Полевая природа инерции. Статическое поле
4. Электромагнетизм, гравитация и инерция
5. Проверка выполнения требований Эйнштейна
Заключение
Литература
1. Введение
Философские соображения и эстетические пристрастия приверженцев различных научных доктрин, как известно, всегда имеют зоны, уязвимые для критики оппонентов. Основы теории гравитации вызывают и по сей день бурные дискуссии, не затихающие, в основном, из-за трудностей проверки предсказаний, либо отличающихся друг от друга исчезающе незначительно в разных подходах, либо не предполагающих возможности организации необходимых опытов.
В настоящее время считается, например, что принцип эквивалентности, положенный в основу создания общей теории относительности (ОТО), имеет чисто эмпирическое обоснование [1,2]. В классических же работах по полевой теории гравитации принцип эквивалентности получался как результат постулирования пропорциональности гравитационного заряда источника поля его массе [3, 4] или энергии-импульсу [5], в связи с чем инертная масса не попадала в окончательные уравнения движения, сократившись в процессе преобразований. Однако здесь угадывается тавтология, поскольку эвристическим основанием для этого постулирования, по-видимому, было его теоретическое следствие - принцип эквивалентности.
Ведется длительная полемика относительно природы сил инерции [2,6], в которой обе стороны согласны относительно геометрической природы сил инерции, разногласия вызывает природа гравитационного поля; в РТГ оно есть физическое поле, подобное электромагнитному, производящее эффект искривления пространства [7]; в ОТО оно есть собственно кривизна пространства-времени. В ОТО "черные дыры" возможны, в РТГ - нет.
В РТГ инерция и гравитация представлены как явления различной природы [6], так как первое может быть глобально уничтожено соответствующим выбором системы отсчета, а второе - нет. В классической ОТО считалось, со ссылкой на идеи Маха [8], что инерция имеет гравитационную природу, но наличие инерции в свободном от гравитации пространстве оказалось необъяснимым [9].
Эта проблема поднята в [9] в рамках критического обзора различных интерпретаций принципа Маха и его обоснования в различных вариантах теории гравитации. Дикке, цитируя Эйнштейна, говорит о том, что теория относительности неравномерного движения, согласующаяся с принципом Маха, должна удовлетворять, по крайней мере, трем условиям:
"1. На тело должна действовать ускоряющая сила, когда соседние с ним
массы подвергаются ускорению, причем ее направление должно совпадать с
направлением этого ускорения."
"2. Вращающееся полое тело должно создавать внутри себя "поле сил Кориолиса", приводящее к отклонению движущихся тел в направлении вращения, а также поле радиальной центробежной силы."
"3. Инертность некоторого тела должна возрасти, если поблизости от него сконцентрируются тяжелые массы."
Далее Дикке констатирует, что в ОТО обоснованы только первые два эффекта (Эйнштейном, Лензе и Тиррингом), третий же эффект в ОТО не представлен: даже в пустом (плоском) пространстве в ОТО присутствует инерция, вопреки гипотезе Маха.
Эта статья представляет собой изложение еще одной точки зрения на вышеизложенные спорные моменты.
2. Специальная теория относительности как калибровочная теория
В литературе многократно обсуждались варианты формулировки принципа относительности, но мало кто при этом упоминал то обстоятельство, что для различных движущихся друг относительно друга систем отсчета внешние тела движутся различным образом [10]. Если предположить, что внешние тела создают в лабораториях, в которых производятся опыты по определению состояния движения, потенциал некоторого поля, то компоненты этого потенциала, в общем случае, будут различными в различных лабораториях, движущихся друг относительно друга, в связи с тем, что источники поля движутся относительно этих лабораторий по-разному.
Пусть область пространства, в которой находятся две движущиеся друг относительно друга лаборатории, эквипотенциальна, а потенциал поля имеет компоненты, зависящие от движения внешних источников, и удовлетворяет соотношениям калибровочной теории. Тогда, если в каждой из лабораторий припишут указанной области одинаковые значения компонент потенциала, игнорируя различия в относительном движении внешних источников, то переход из одной лаборатории в другую будет сопряжен с глобальной "регулировкой" компонент потенциала области от значений, соответствующих изменившемуся характеру относительного движения источников, до значений, принятых в обеих лабораториях. Это значит, что упомянутый переход должен сопровождаться глобальным изменением проекций волновых 4-векторов всех частиц - носителей заряда этого поля - в соответствии с калибровочными соотношениями для рассматриваемого поля (т.е. надо осуществить пассивное калибровочное преобразование).
При переходе во вторую лабораторию волновые 4-векторы всех частиц подвергаются преобразованию Лоренца:
Ki = Kj аij, (1)
которые можно переписать в виде требуемого калибровочного преобразования следующим образом:
DKi = - Kj Dаij, (2)
где аij - коэффициенты преобразования Лоренца при переходе из первой лаборатории во вторую;
Dаij = dij - аij - изменение коэффициентов преобразования Лоренца во второй лаборатории до dij - символа Кронекера;
Kj - постоянный волновой вектор в системе первой лаборатории;
DKi - приращение волнового 4-вектора при переходе в систему второй лаборатории.
Если бы все тела Вселенной, за исключением "неподвижной" лаборатории, внезапно ускорились до минус скорости второй лаборатории, то пробные тела испытали бы активное калибровочное преобразование своих волновых функций, т.е. действие сил со стороны ускорившихся источников поля.
В соотношении (1) 4-вектор Kj играет роль заряда частицы (в правой части) и волнового 4-вектора той же частицы (в левой части), а коэффициенты преобразования Лоренца - роль потенциалов. Соотношение (1), понимаемое как калибровочное, может быть истолковано следующим образом [11]: если потенциалам точек пространства-времени дать приращения Dаij, то сохранение состояний всех частиц, обладающих зарядом - 4-импульсом, потребует изменения фаз их волновых функций, соответствующего локальным изменениям волновых векторов на DKi.
О поле, для которого преобразования Лоренца являются калибровочными соотношениями, можно сказать следующее:
а) источниками поля являются 4-импульсы тел Pi = - hKi = -h ¶j /¶xi, h - постоянная Планка;
б) поле характеризуется универсальностью взаимодействия, поскольку действует на все, что обладает энергией-импульсом (напомним, что Мошинский [5] ввел принцип универсальности для гравитационного поля аксиоматически с целью выведения принципа эквивалентности);
в) потенциал поля представляет собой четверку попарно ортогональных 4-векторов, компоненты которых в совокупности образуют 4*4-матрицу, в частном случае локально совпадающую с матрицей преобразования Лоренца;
г) в начале координат любой системы отсчета для потенциала этого поля, создаваемого совокупностью тел Вселенной, принимается калибровка аij(0) = dij, что означает договоренность в любой момент времени считать вклады в суммарный потенциал, зависящие от движения или пространственной ориентации внешних источников, компенсированными, независимо от того, что происходит "на самом деле".
Следует заметить, что аналогия между калибровочными преобразованиями и преобразованиями Лоренца хорошо известна, однако утверждение последних в роли калибровочных для какого-либо поля производится, по нашему мнению, впервые.
Свойства а) и б) позволяют предположить, что рассматриваемое гипотетическое поле есть не что иное как гравитационное поле. Поскольку рассматриваемое поле влияет единообразно на форму всех волновых функций в конфигурационном представлении (на все волновые 4-векторы), то его включение можно представить как некоторое преобразование координат, деформирующее фазовые фронты. Мы видим, что калибровочное преобразование гравитационного поля эквивалентно преобразованию 4-координат, измеряемых, по Эйнштейну, с помощью световых сигналов - электромагнитных волн.
Для обсуждения свойства в) и соглашения г) автору представляется желательным некоторое отступление.
Со времени появления СТО неоднократно отмечалось, что синхронизация пространственно разнесенных часов требует соглашения относительно степени анизотропии скорости распространения светового сигнала, используемого для синхронизации [12]. Мы можем договориться считать скорость света в точке нашего нахождения изотропной, и тогда часы, покоящиеся в некоторой окрестности вокруг нас, будут, с нашей точки зрения, одновременно показывать одно и то же время, если они синхронизируются с помощью световых сигналов. Говоря языком 4-мерной геометрии, синхронизация часов световыми сигналами при допущении об изотропности скорости света в точке нашего нахождения означает локальное совмещение 3-гиперплоскости одинаковых показаний часов с 3-гиперплоскостью одновременных событий, существование которой подразумевается.
В движущемся относительно наблюдателя вагоне синхронизация часов световыми сигналами, скорость которых полагается не зависящей от направления теперь уже в вагоне, приведет к разнице показаний этих часов и неподвижных часов. Эта разница вызвана разногласиями по поводу величины и направления скорости света относительно вагона: неподвижный наблюдатель видит, что эта относительная скорость света отличается от 3-вектора c на 3-вектор -v, где v - скорость вагона, а движущийся это отличие игнорирует. Разница в показаниях часов, как легко показать, линейно зависит от пространственных координат, т.е. ее появление эквивалентно повороту 3-гиперплоскости одинаковых показаний часов, синхронизированных в вагоне, относительно 3-гиперплоскости одинаковых показаний часов, синхронизированных неподвижным наблюдателем. Это и есть вышеупомянутый частный случай проявления свойства в) - случай четырехмерного поворота - преобразований Лоренца.
Видна связь между степенью наблюдаемой неподвижным наблюдателем анизотропии скорости светового сигнала относительно вагона и потенциалом в (1), в котором, с точки зрения неподвижного наблюдателя, должен ощущать себя наблюдатель в вагоне: обе величины зависят от скорости вагона относительно наблюдателя. Принятие любым наблюдателем своего потенциала равным dij включает в себя допущение об изотропности скорости света в месте нахождения наблюдателя и равенстве ее некоторой стандартной величине. Таким образом, соглашением г) постулируется равноправие всех систем отсчета, пользующихся световыми единицами времени и длины и принимающих локально скорость света равной c во всех направлениях. Это равноправие проявляется, в частности, в том, что одноименным для различных систем явлениям можно в этих системах приписать соответственно равные характерные длительности и протяженности, независимо от предыстории этих систем отсчета.
Здесь мы вступаем в полемику с [13], где утверждается существование избранной (никогда не ускорявшейся) системы отсчета, неподвижной относительно Вселенной в целом и в которой только и возможно наблюдать не преобразованное по Лоренцу течение времени. В других же системах, ранее когда-либо ускорявшихся (и замедлявшихся), время, согласно [13], течет медленнее.
В общем случае, при произвольном распределении движущихся удаленных источников рассматриваемого поля потенциал окажется не всюду и/или не всегда равным потенциалу начала координат, dij. Тогда, очевидно, будет возможным наблюдать анизотропию и/или криволинейность распространения света в удаленных точках, а также отличия скорости "удаленного" света от c, если движение света удастся описать с использованием масштабов времени и длины, принятых в начале отсчета. Первый случай соответствует появлению компонент потенциала, зависящих от движения и/или ориентации внешних источников поля, второй - отличию статических компонент потенциала, зависящих от положения внешних источников, от единицы (принятого в начале отсчета значения этих компонент).
Здесь мы уже имеем поле с не равной нулю напряженностью.
.3. Полевая природа инерции. Статическое поле
Предположим, что некоторая лаборатория движется неравномерно в области пространства, где наблюдается физически возможная ситуация отсутствия "перегрузок" (ощущается невесомость, приливные силы отсутствуют, гироскопы не прецессируют). Это означает, что напряженности полей для такого наблюдателя равны нулю, т.е. он считает окрестность лаборатории практически эквипотенциальной. Для описания физических явлений этому наблюдателю вполне достаточно аппарата специальной теории относительности, например, он может пользоваться (1+3)-мерной евклидовой системой координат с мнимой временной осью x0 = ict (последнее позволяет применять только нижнюю индексацию тензорных величин).
Рассмотрим свободное движение пробного тела в системе отсчета (штрихованной), связанной с лабораторией. В этой системе тело движется ускоренно под действием силы dP'i/dt, где P'i - 4-импульс тела, t - его собственное время. Поскольку в рассматриваемой области справедлива СТО, т.е. W'j dP'j = 0, то левая часть может быть тождественно преобразована (с учетом того, что Pm, проекции 4-импульса в системе наблюдателя, не зависят от координат, поскольку в этой системе движение пробного тела не возмущено):
(3)
где ajm = djm + dajm - коэффициенты преобразования Лоренца, связывающего величины в системе наблюдателя и в системе лаборатории, и которые являются функциями 4-координат.
Выражение (3) представляет собой уравнение движения тела с 4-векторным зарядом, равным 4-импульсу этого тела, в поле с потенциалами, равными координатно зависимым коэффициентам преобразования Лоренца. Здесь мы видим, что поле сил инерции, в котором движется пробное тело, в точности соответствует (в смысле совпадения вида зарядов - источников поля - и потенциалов) рассмотренному в разделе 2 гипотетическому калибровочному полю. Таким образом, поскольку источниками поля в обоих случаях являются 4-импульсы тел, то поле сил инерции имеет, ту же, повидимому, гравитационную, природу, так же как и упомянутое калибровочное поле.
Поле, движение в котором описывается уравнением (3), соответствует "слабому" принципу эквивалентности, поскольку в (3) инертная масса, действительно, сокращается в силу пропорциональности 4-импульса инертной массе, и ускорение пробных тел от их масс не зависит. Электромагнитные же силы, действующие на электрически заряженное пробное тело, пропорциональны электрическому заряду пробного тела, а реактивные - силы инерции - 4-импульсу тела, поэтому ускорение заряженного пробного тела в электромагнитном поле оказывается зависящим от отношения его электрического заряда к его инертной массе.
Проявления сил инерции, действующих на пробное тело в штрихованной системе лаборатории и не действующих - в системе наблюдателя, различны вследствие различий в движениях внешних массивных источников этих сил относительно различных систем отсчета. При этом системы отсчета, связанные с телами, на которые действует нулевая равнодействующая этих сил, создаваемых внешними источниками, являются инерциальными. В рассмотренном примере такой системой была система наблюдателя. Понятно, что инерциальные системы отсчета (с жесткими координатными сетками и световыми единицами времени и длины) могут быть только локальными.
Системы же, связанные с телами, подверженными действию ненулевой суммарной гравитационной силы, уравновешенной какими-либо негравитационными силами, являются неинерциальными (в примере - система лаборатории). Неинерциальность обусловлена расположением и движением внешних источников гравитационного поля, создающих координатно зависимые потенциалы aij, относительно выбранной системы отсчета и проявляется, когда равнодействующая негравитационных сил, действующих на тело отсчета, не равна нулю.
Таким образом, мы пришли к выводу принципа Маха в авторской формулировке [8], т.е. к выводу о невозможности установить абсолютный характер какого-либо, в том числе - ускоренного, движения.
Вернемся к выражению (3). В нем присутствует член W'j Pm ¶ajm/¶x'i, равный нулю в эквипотенциальной области и добавленный, вроде бы, только из соображений лоренц-ковариантности. Однако в так называемом "истинном", "неустранимом во всем пространстве выбором системы отсчета" гравитационном поле с пространственно зависимым потенциалом Hij, этот член отличен от нуля. В таком поле калибровочные соотношения не совпадают с преобразованиями Лоренца, поскольку произведение Hij Hik оказывается равным djk только в начале координат (благодаря соглашению г)).
Мы будем рассматривать модификацию СТО, в которой преобразования (1) 4-мерного поворота волновых функций частиц дополнены масштабным преобразованием, соответствующим возрастанию инерции и убыванию энергии с увеличением величины потенциала (т.е с приближением к тяготеющим телам):
(4)
где H - потенциал статического поля в некоторой точке, определенный наблюдателем, находящимся в начале штрихованной системы отсчета;
ki - волновой 4-вектор частицы, наблюдаемой локальным неподвижным наблюдателем;
k'i - волновой 4-вектор той же частицы, наблюдаемой из начала отсчета (где H = 1);
n' и n - соответствующие частоты волновой функции частицы.
Преобразование (4) эквивалентно преобразованию 4-координат:
Мы приняли, что волновые 3-векторы изменяются при переходе от точки к точке пропорционально, т.е. проекции волновых 3-векторов частиц, находящихся для локальных наблюдателей в одинаковых состояниях, с точки зрения наблюдателя в начале координат, изменяются при переходе от точки к точке в одно и то же число раз. Это соответствует предположению об отсутствии масштабных искажений при изменении гравитационного потенциала.
Элемент собственного времени dt и элемент собственной протяженности dxm изменяются, как и при преобразованиях Лоренца, с сохранением величины их произведения: dt' dxm' = dt dxm; элементарный 4-объем, напротив, не сохраняется, а изменяется с изменением потенциала как H-2. Время, с точки зрения наблюдателя в начале координат, течет тем медленнее, чем ближе наблюдаемые часы к тяготеющему телу, а линейные размеры тел с увеличением абсолютной величины потенциала изотропно уменьшаются.
Из (4) также следует, что длина волны частицы изменяется обратно пропорционально H. Это означает, что фазовая скорость n'l', в том числе скорость распространения света, уменьшается с увеличением H как 1/H2. Эта зависимость дает точные величины таких наблюдаемых эффектов, как отклонение света при пролете мимо тяготеющего тела и задержка радиолокационного сигнала при локации тел, более близких к тяготеющим телам, нежели наблюдатель. Величина 2Фньют, входящая в известные формулы ОТО, получается здесь из приближенного разложения величины 1/H2 = 1/(1+Фньют)2 @ 1 - 2Фньют при малых величинах ньютоновского потенциала Фньют, которое в сильных полях оказывается неверным. В частности, неверным (если, конечно, верны приводимые здесь рассуждения) оказывается вывод ОТО о возможном существовании "черных дыр", где наблюдаемая скорость света должна была бы обращаться в нуль на конечном расстоянии от центра источника тяготения.
С учетом зависимости скорости света от потенциала H прямые и обратные преобразования Лоренца, дополненные преобразованием (5), могут быть переписаны в модифицированном виде:
H dx'i = aim dxm; dx0 º ic dt, dx'0 º ic(H) dt'; (6)
dxi = ami H dx'm; (7)
H-1 k'i = aim km; k'0 º i n'/c(H), k0 º in/c; (8)
ki = ami H-1 k'm, (9)
где aij - коэффициенты классического преобразования Лоренца, связывающего величины, измеренные в нештрихованной системе отсчета, с величинами, измеренными в системе отсчета, для которой матрица гравитационных потенциалов (с точки зрения штрихованной системы отсчета) имеет диагональный вид H dij. Начало штрихованной системы отсчета находится в потенциале dij согласно соглашению г) (см. раздел 2). По образцам (6, 7) преобразуются контравариантные компоненты тензоров, а по образцам (8, 9) - ковариантные компоненты.
Выражение (3) для силы, действующей на тело, приобретет следующий вид:
(10)
где потенциалы H0j пропорциональны масштабному коэффициенту H, а потенциалы Hjm, m = 1, 2, 3$ - обратно пропорциональны H.
В частном случае статического поля и пробного тела, покоящегося в начале координат наблюдателя, получим:
(11)
Направление силы (11), в полном соответствии с законом тяготения Ньютона, совпадает с направлением градиента потенциала, в отличие от направления силы, действующей на электрический заряд в поле другого заряда того же знака и соответствующей закону Кулона (одноименные гравитационные заряды притягиваются, а одноименные электрические заряды - отталкиваются).
В частном случае касательного движения релятивистской частицы вблизи сферически симметричного источника статического поля (ось x2 параллельна направлению движения в точке наибольшего сближения частицы и источника, ось x1 лежит в плоскости, проходящей через центр тяготеющего тела и траекторию частицы) имеем:
(12)
где наличие члена W'2 P'2 обеспечивает удвоение отклонения частицы от первоначальной траектории по сравнению с отклонением, рассчитанным по закону Ньютона, при стремлении скорости частицы к скорости света.
В связи с тем, что преобразования Лоренца могут быть дополнены еще и преобразованиями отражения, соответствующими "псевдотахионным" [14] античастичным и/или зеркально симметричным состояниям, физически возможны отрицательные значения H в (4), создаваемые отрицательными гравитационными зарядами. Тем самым мы предполагаем физическую возможность антигравитации: тела с антипараллельными 4-импульсами должны отталкиваться. Для этого, однако, необходимо, чтобы количество антивещества оказалось достаточным для того, чтобы отрицательный потенциал в его объеме превышал по модулю положительный, создаваемый веществом окружающей нас части Вселенной. Выполнение этого условия обеспечит положительность инертной массы антивещества и отталкивающая сила приведет к кинематическому разлетанию этой порции антивещества и взаимодействующей с ней порцией вещества. В противном же случае инертная масса антивещества окажется отрицательной и отталкивающая сила приведет к притяжению. Маленькие порции антивещества, обладающие отрицательной инертной массой, будут кинематически разлетаться, несмотря на притягивающий характер силы. Ситуация полностью аналогична рассмотрению Дираком электронов с отрицательной массой как частиц с положительной массой и положительным электрическим зарядом: электроны с массами, имеющими противоположные знаки (т.е. электрон и позитрон), как известно, притягиваются друг к другу.
Гравитационное отталкивание больших масс вещества и антивещества при гравитационном "слипании" гравитационных зарядов, имеющих одинаковые знаки времениподобных компонент, приводит к концентрации вещества и антивещества в разных частях Вселенной, отсутствию гравитационно связанного антивещества в нашей части Вселенной, может быть причиной красного смещения и объясняет отсутствие заметного аннигиляционного излучения.
Подробное исследование феномена гравитационного отталкивания, однако, выходит за рамки предлагаемой статьи и может послужить одной из тем для дискуссии на страницах журнала.
4. Электромагнетизм, гравитация и инерция
Мы уже упомянули об асимметрии в условиях наблюдения гравитационных и электромагнитных явлений. Гравитационные явления наблюдаются нами в области с ненулевым суммарным гравитационным потенциалом, созданным тяготеющим окружением; электромагнитные же явления наблюдаются на электрически нейтральном, в среднем, фоне. Представим теперь, что и те, и другие явления наблюдаются внутри области, окруженной избытком электрического заряда одного знака. Пусть этот избыток создает в этой области электростатический потенциал, не зависящий от координат в системе заряженной оболочки этой области. Его наличие обеспечивает отличие энергии заряженного тела от его энергии покоя в электронейтральной области и соответствующее отличие компонент канонического 4-импульса.
Массивные тела Вселенной расположены и движутся относительно этой области так, что обеспечивают в этой области гравитационную эквипотенциальность. Это позволяет упрощенно представлять Вселенную в виде, например, сферической однородной массивной оболочки.
Рассмотрим с позиций относительности ускорений примеры действия различных сил на пробное тело, находящееся внутри обеих оболочек.
1. Вселенная и заряженная оболочка находятся в состоянии относительного ускоренного движения; заряженное пробное тело удерживается в состоянии покоя относительно заряженной оболочки некоторой сторонней силой.
С точки зрения классической электродинамики, со стороны заряженной ускоренной облочки на пробное тело действует лоренцева сила, пропорциональная скорости изменения векторной части электромагнитного 4-потенциала, которая, в свою очередь, пропорциональна ускорению оболочки относительно инерциальной системы (в нашем случае - системы Вселенной).
Мы же полагаем, что, поскольку пробное тело покоится относительно заряженной эквипотенциальной оболочки, последняя на тело не действует ни с какой силой. Однако ускоренные относительно пробного тела массивные тела Вселенной воздействуют на все компоненты канонического 4-импульса (волнового 4-вектора), включая компоненту, создаваемую электростатическим взаимодействием оболочки и пробного тела. В результате к силе инерции ("гравилоренцевой" силе), которая бы действовала на пробное тело со стороны Вселенной в отсутствие заряженной оболочки, добавляется сила, в точности равная лоренцевой силе классической электродинамики и пропорциональная ускорению Вселенной относительно пробного тела и оболочки.
2. Вселенная и заряженная оболочка находятся в состоянии относительного ускоренного движения; заряженное пробное тело движется под действием сил со стороны Вселенной и оболочки.
В любой из трех систем отсчета (Вселенной, оболочки и пробного тела) на пробное тело действуют силы, пропорциональные ускорениям Вселенной и заряженной оболочки относительно пробного тела и находящиеся в балансе. Из уравнения баланса мы можем найти выражение для ускорения пробного тела в любой из систем отсчета, в которое будут входить только относительные ускорения. В каждой из систем Вселенная считается мгновенно покоящейся - это соответствует соглашению г) о диагональной калибровке собственного гравитационного потенциала.
С точки зрения пробного тела имеет место мгновенный баланс сил, поскольку оно в своей системе отсчета никуда не движется:
(13)
откуда для ускорения Вселенной относительно пробного тела имеем:
(14)
Здесь Pk = (P, 0, 0, 0) - 4-импульс пробного тела,
aij - коэффициенты преобразования от системы Вселенной к системе пробного тела,
Ai = b0i A" - 4-вектор потенциала оболочки,
bij - коэффициенты преобразования от системы оболочки к системе пробного тела,
q - заряд пробного тела,
Vi об = ic b0i - 4-скорость оболочки,
Vi Вс = ic a0i = -ic ai0 - 4-скорость Вселенной,
j º- ic A0,
j" º- ic A" - электростатический потенциал оболочки.
Лоренцева сила, действующая со стороны оболочки, уравновешена в системе пробного тела ее гравитационным аналогом - силой, действующей со стороны Вселенной, ускоренной относительно пробного тела. Этот аналог пропорционален ускорению Вселенной относительно пробного тела и действует на скалярную компоненту канонического 4-импульса пробного тела (m ic + q A0).
Лоренцева сила действует на 4-ток q ic, создаваемый пробным телом, и пропорциональна ускорению оболочки относительно пробного тела; это ускорение несколько отличается от ускорения оболочки относительно Вселенной, поскольку Вселенная сама движется ускоренно относительно пробного тела. Часть лоренцевой силы, пропорциональная этому последнему ускорению, точно компенсируется частью гравитационной силы, действующей на компоненту q A0 канонического 4-импульса со стороны ускоренной Вселенной. Поэтому добавка к инертной массе от энергии взаимодействия оболочки и пробного тела в знаменателе (14) исчезает при переходе в систему Вселенной, т.е. при замене ускорения оболочки относительно пробного тела (в формуле для ускорения пробного тела относительно Вселенной) на ускорение оболочки относительно Вселенной.
В системе же оболочки ускорение пробного тела относительно оболочки пропорционально отношению m + qj/c2 к m.
В системах Вселенной и оболочки, где пробное тело движется под действием некоторой равнодействующей силы, инертная масса (входящая в знаменатель формул для ускорения пробного тела) не зависит от потенциала оболочки. Это происходит потому, что в рассматриваемом примере вклад в инертную массу от взаимодействия электрокинетического 4-импульса пробного тела с гравитационным потенциалом Вселенной компенсируется вкладом от взаимодействия 4-тока с электромагнитным потенциалом заряженной оболочки.
3. Вселенная и заряженная оболочка покоятся друг относительно друга; внутри оболочки находится тяготеющее тело, пробное тело "лежит" на его поверхности.
Сторонняя сила, удерживающая пробное тело на поверхности, уравновешена градиентной силой (11), действующей на канонический 4-импульс тела. Вес заряженного пробного тела, таким образом, изменяется с изменением электростатического потенциала заряженной оболочки, в частности, вес оказывается большим, если заряды тела и оболочки совпадают по знаку, чем в случае, когда заряды имеют противоположные знаки.
4. Вселенная и заряженная оболочка покоятся друг относительно друга; внутри оболочки находится тяготеющее тело, пробное тело свободно падает.
В системе пробного тела имеем баланс следующих сил: силы (10), включающей градиентную силу (11) и действующей на канонический 4-импульс тела, и лоренцевой силы, действующей на 4-ток тела. Как и в примере 2, компонента силы (10), действующая на электростатическую добавку к 4-импульсу со стороны ускоренной Вселенной (включая тяготеющее тело), точно компенсируется лоренцевой силой со стороны ускоренной заряженной оболочки. Градиентная составляющая, действующая на электростатическую добавку, ничем не скомпенсирована и вызывает дополнительное ускорение:
15)
или
(15a)
Мы показали, что заряженные пробные тела падают на нейтральное тяготеющее тело с ускорениями, отличными от ускорения нейтральных пробных тел, если фоновый электростатический потенциал отличен от нуля. Гравитационное и электромагнитное поля в этом случае находятся в одинаковом положении: подобно тому, как электромагнитное поле в области ненулевого гравитационного потенциала одинаково заряженные частицы сортирует по массе, гравитационное поле в области ненулевого электромагнитного потенциала сортирует частицы с одинаковыми массами по величине их электрического заряда.
5. Проверка выполнения требований Эйнштейна
До настоящего момента мы рассматривали относительное движение некоторой лаборатории, пробного тела и Вселенной в целом. Для проверки соответствия теории, включающей в себя принцип Маха, требованиям Эйнштейна мы рассмотрим влияние движения ограниченной массивной оболочки на движение пробного тела, находящегося внутри этой оболочки. Для простоты будем считать объем внутри оболочки эквипотенциальным в ее системе отсчета, а время запаздывания взаимодействия - пренебрежимо малым. Все это находится в пределах эквипотенциальной области Вселенной. Наблюдатель удерживается внутри оболочки в состоянии покоя, так что характер движения прочих тел Вселенной, с его точки зрения не изменяется.
Также для простоты будем считать, что пробное тело мгновенно находится в начале координат системы наблюдателя, т.е. в потенциале, равном dij.
Пусть оболочка движется ускоренно.
Сила (10), действующая на пробное тело со стороны оболочки, имеет вид:
(16)
или
` (16a)
где DH - потенциал, создаваемый оболочкой, в системе покоя оболочки; H - потенциал, создаваемый совокупностью прочих тел Вселенной, в системе покоя этой совокупности; сумма в скобках мгновенно равна dim (в силу известного соглашения г)); aim об (Вс) - коэффициенты преобразования от системы оболочки (прочих тел Вселенной, соответственно) к системе наблюдателя; ai0 Вс = const; ai0 об º Vi об/ic; Vi об - переменная 4-скорость оболочки. Из (16а) видно, что пробное тело увлекается в направлении ускорения оболочки.
Первое требование Эйнштейна выполнено.
Теперь пусть оболочка вращается вокруг своей оси, пробное тело мгновенно покоится не на оси вращения, прочие условия эксперимента остаются прежними.
Сила, действующая на пробное тело со стороны оболочки, определится следующим образом:
(17)
где Vm об - 4-скорость точки системы оболочки, в которой (точке) мгновенно находится пробное тело; m º P0/ic - масса покоя пробного тела; wmi об - угловая скорость оболочки.
Сила (17) подобна центробежной силе во вращающейся системе отсчета. При DH ® 1 выражение (17) совпадает с выражением для центробежной силы.
Теперь пусть пробное тело в начальный момент находится на оси вращения оболочки и движется перпендикулярно ей (оси).
(18)
Сила (18) подобна силе Кориолиса во вращающейся системе отсчета. При DH ® 1 выражение (18) совпадает с выражением для силы Кориолиса.
Второе требование Эйнштейна также выполнено.
Перейдем к требованию Эйнштейна о зависимости инертности тел от близости окружающих массивных тяготеющих тел.
Третье и последнее требование Эйнштейна к теории, согласующейся с принципом Маха, как мы помним, породило вопрос об инерции одиночного тела в воображаемой Вселенной, в которой отсутствуют другие источники тяготения. С одной стороны, пространство-время такой Вселенной должно быть пространством-временем Минковского, в котором, с точек зрения как ОТО, так и РТГ, присутствует инерция. С другой стороны, принцип Маха требует отсутствия инерции при отсутствии внешних тяготеющих тел, которые, согласно этому принципу, только и могли бы эту инерцию обусловить.
Уже из выражения (1) как калибровочного преобразования следует вывод об обусловленности инерции пробного тела (его ненулевого наблюдаемого 4-импульса) внешними массивными (т.е. обладающими ненулевым 4-импульсом) источниками, создающими потенциал aij с не равными нулю диагональными членами. Это обстоятельство можно считать указанием на соответствие принципу Маха в Эйнштейновской формулировке (отразившейся в его требовании 3, см. цитату из Дикке в разделе 1).
При дополнении СТО масштабным преобразованием (4) мы получили, что фазовая скорость волны, распространяющейся в области с потенциалом H, должна быть пропорциональна минус второй степени потенциала. Дистанционно наблюдаемые групповые скорости v'гр = c'2/v'фаз = vгр/H2; 3-ускорения, соответственно, обратно пропорциональны H3. Это означает пропорциональность инертной массы H3 и, в частности, равенство ее нулю в удаленной точке с нулевым статическим потенциалом H.
Одиночное тело, оказавшись в "пустом" пространстве, не обладало бы инерцией: Вселенная в целом, таким образом, также инерцией не обладает (здесь мы полностью согласны с РТГ), и ее движение как целого может быть полностью произвольным.
Таким образом, третье требование Эйнштейна к теории, согласующейся с принципом Маха, также непротиворечиво выполнено.
6. Заключение
При распространении принципа относительности на ускоренные движения, которое мы пытались обосновать выше, возникает вопрос: если считать, что ускоряется не пробное тело, а все прочие тела Вселенной, то может ли эффект инерции проявиться мгновенно после начала их ускорения, несмотря на ограничение скорости распространения взаимодействия? Не подразумевают ли рассуждения об относительности ускоренных движений допущение бесконечно высоких скоростей распространения гравитационного воздействия ускоренной Вселенной, что, повидимому, противоречит СТО, в рамках которой эти рассуждения производились?
По нашему мнению, противоречий с СТО вышеприведенные рассуждения не содержат. Из соотношения c(H) = c/H2, полученного выше, следует, что при стремлении гравитационных потенциалов к нулю дистанционно наблюдаемая скорость света c(H) стремится к бесконечности. Поскольку относительное скоординированное ускоренное движение всех источников гравитационного поля Вселенной происходит в исчезающе малом поле пробного тела, т.е. практически в пустом пространстве, то воздействие движения источников на пробное тело должно проявляться практически мгновенно, чем мы неявно воспользовались в выражениях для поля сил инерции, создаваемого ускоренной или вращающейся Вселенной.
Из этого же соотношения для дистанционно наблюдаемой скорости света следует, что метрика на бесконечном удалении от изолированного тела (каковым является, например, "островная" Вселенная) не может быть метрикой Минковского: при бесконечно большой скорости света световые единицы времени и длины не могут быть определены, и "полностью пустое" пространство оказывается аффинным. Поэтому же метрика Минковского не может быть фоновой для гравитации (вопреки принятой в РТГ точке зрения), она создается тяготением в эквипотенциальных областях ограниченной протяженности.
Вопросы, которые в настоящей статье не проработаны, но которые находятся в поле зрения автора:
- лагранжев формализм для описания поля, которое выше описано скорее качественно, нежели математически;
- свойства кванта-переносчика гравитационного взаимодействия;
- аналогия гравитационного и электрослабого взаимодействия;
- космология с гравитационным отталкиванием вещества и антивещества.
В статье сделаны следующие выводы:
- потенциалом гравитационного поля является матрица масштаба-поворота волновых функций всех частиц (в координатном представлении), состоящая из четырех попарно ортогональных 4-векторов;
- в начале координат любой системы отсчета гравитационный потенциал непрерывно калибруется как единичный тензор, что эквивалентно постулированию локальной изотропности скорости света, равной одной и той же во всех системах отсчета стандартной величине, и что делает равноправными все системы отсчета с электромагнитными единицами времени и длины (общий принцип относительности);
- из калибровочных соотношений для таким образом определяемого поля следует, что гравитационные заряды частиц равны их волновым 4-векторам (слабый принцип эквивалентности); из них же следует, что заряды пропорциональны суммарному потенциалу, создаваемому всеми прочими зарядами, т.е., образно говоря, гравитационные заряды "взаимно создают" друг друга;
- инертность любой части Вселенной обусловлена гравитационным потенциалом, создаваемым оставшейся частью Вселенной, в частности, инерция Вселенной в целом равна нулю;
- принцип относительности может быть распространен на неинерциальные системы отсчета (одна из авторских формулировок принципа Маха [8]), рассматриваемые как евклидовы системы отсчета, в которых наблюдается гравитационное поле, индуцированное относительным ускоренным движением внешних массивных тел;
- ограничение на относительную скорость скоростью света в вакууме связано с ненулевой величиной гравитационного потенциала, т.е. скорость света в "абсолютной пустоте" была бы, с точки зрения наблюдателя, находящегося в области с ненулевой величиной потенциала, бесконечно велика, и, следовательно, в пустоте невозможно задать метрику с использованием световых единиц времени и длины;
- пространство-время Минковского, таким образом, есть приближенная модель пространства-времени в конечных областях с ненулевыми 4-векторными компонентами гравитационного потенциала, зависимостью которых от 4-координат можно пренебречь.
В заключение автор выражает благодарность К.Анисовичу и Ю.Барышеву за дискуссии, давшие импульс к написанию этой статьи.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Паули В. Теория относительности. М., Наука, 1991, с. 96.
2. Гинзбург В.Л., Ерошенко Ю.Н. Еще раз о принципе эквивалентности. УФН, 1995, т.165, N2, с. 205.
3. Биркгоф Дж.Д. Плоское пространство-время и гравитация. Гравитация, 1997, т.2, N2, с. 21 - 29.
4. Тирринг В.Е. Альтернативный подход к теории гравитации. Гравитация, 1997, т.2, N2, с. 40 - 58.
5. Мошинский М. О взаимодействии биркгофовского гравитационного поля с электромагнитным и спинорным полями. Гравитация, 1997, т.2, N2, с. 30 - 39.
6. Логунов А.А. Теория классического гравитационного поля. УФН, 1995, т.165, N 2, с. 187.
7. Логунов А.А. Лекции по теории относительности и гравитации. Современный анализ проблемы. М., Наука, 1987, 271 с.
8. Мах Э. Механика. Историко-критический очерк ее развития. В кн. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М., Мир, 1979.
9. Дикке Р. Многоликий Мах. В кн.: Гравитация и относительность, М., Мир, 1965, с. 221.
10. Анисович К.В. Общая теория относительности с учетом принципа Маха. Гравитация, 1996, т. 2, вып. 1, с. 38 - 64.
11. Р.Утияма. К чему пришла физика. М., Энергия, 1986, 223 с.
12. Анисович К.В. К экспериментальным основаниям специальной теории относительности. Гравитация, 1997, т. 3, вып. 1, с. 32 - 54.
13. Генк А.В. Обобщенные инерциальные и неинерциальные системы отсчета в СТО и принцип относительности. Гравитация, 1997, т. 3, вып. 1, с. 55 - 75.
14. Тележко Г.М. К симметрии относительно светового барьера. УФЖ, 1993, т. 38, N 2, с. 183 - 189.